Ellenállások - megoldás

Adatok:

U=10V
R1=10Ω
R2=20Ω
R3=30Ω
R4=40Ω
R5=50Ω
R6=60Ω
R7=70Ω
R8=80Ω
R9=90Ω
R10=100Ω

A kérdés az volt, hogy mi az egyes ellenállásokon eső feszültség (amit
egyébként elfelejtettem odaírni az előző számba, de végül is ki lehetett
következtetni).

Akkor lássuk:
Tudnunk kell, hogy mekkora áramot vesz fel az egész
áramkör. Ehhez ki kell számolnunk az eredő ellenállást.
Az eredő
ellenálláshoz először keressük meg hogy hol vonhatunk össze ellenállásokat.
Tanácsos a "legmélyebb" szinten levő ellenállásokkal kezdeni. Kezdjük a bal
oldalon R5 és R6 összevonásával:

Használjuk a replusz műveletet az összevonáshoz!

R56 = R5*R6 = 50*60 = 27.27 Ω
           R5+R6    50+60

R5 és R6 együtt tehát 27.27 Ω ellenállást képvisel.
Most nézzük meg, hogy mi lesz a következő lépés:

Szembetűnő, hogy R7 párhuzamosan van kapcsolva egy "üres" vezetékkel.
Minthogy az áramnak van annyi "esze", hogy nem birkózza át magát az
ellenálláson, amikor van egy könnyebb út is, ezért R7-en nem folyik áram,
vagyis olyan, mintha ott se lenne az áramkörben. Ezt be is bizonyíthatjuk,
ha kiszámoljuk R7 és a 0 ohmos vezeték párhuzamos kapcsolásából adódó eredő
ellenállást. (Valójában egy nagyon minimális áram azért folyik az R7-en, mert a
vezetékeknek van egy nagyon pici, legtöbbször elhanyagolható ellenállásuk.)

Menjünk tovább. R2, R56 és R8 jól láthatóan sorosan van kapcsolva. Vonjuk
íssze ezeket az ellenállásokat is:
(Most az ellenállás-hálózat bal oldalának
eredő ellenállását számoljuk ki, ezért ennek legyen a neve Rbal.)

Rbal = R2 + R56 + R8 = 20 + 27.27 + 80 = 127.27Ω
Ezzel sikerült egy ellenállásá összevonni a bal oldali ellenállásokat.

Következő lépésként vonjuk össze a maradék két ágon maradt sorosan kapcsolt
ellenállásokat:

Rközép = R3 + R9 = 30 + 90 = 120Ω
Rjobb = R4 + R10 = 40 + 100 = 140Ω

Most már a három párhuzamos ág helyettesítő ellenállásait kiszámoltuk.


R1-et még nem tudtuk
bevonni semmibe sem, mert az mindhárom ággal egyszerre van sorosan
kötve, így először a három ág eredőjét kell megtudnunk, hogy bevonhassuk.

Jelen esetben három párhuzamos ellenállás eredőjét kéne kiszámolni. Ehhez
volt egy olyan képletünk, ahol az ellenállások reciprokait összeadtuk.Most a
változatosság kedvéért próbáljuk meg replusszal, ami ugyan csak két párhuzamos
ellenállás eredőjét adja meg, de kis furfanggal rájöhetünk, hogy használhatjuk
három ellenálláshoz is. Először kiszámoljuk Rbal és Rközép eredő ellenállását,
majd a kapott eredményt megint replusszoljuk Rjobb-bal.

Rbal-közép = Rbal*Rközép = 127.27 * 120 = 61.76Ω
                      Rbal+Rközép    127.27 + 120

És a második fele a műveletnek: (bal, közép, jobb összevonva)
Rbkj = Rbal-közép*Rjobb  = 61.76*140  = 42.85Ω
            Rbal-közép+Rjobb     61.76+140

Most megvan a három ág eredője. Ezt vonjuk össze a sorosan kapcsolt R1-gyel,
hogy megkapjuk az áramkör ellenállását:

Re = Rbkj + R1 = 42.85 + 10 = 52.85Ω

Megvan az eredő ellenállás, most ebből derítsük ki, hogy mekkora áram folyik
át az áramkörön:
I=U / Re = 10 / 52.85 = 0.189A = 189mA.

Most mehetünk a következő lépésre, a feszültségek kiszámításához. Induljunk
felülről lefelé.
R1 ellenálláson a teljes áram átfolyik, így az azon eső
feszültség:

U1 = I * R1 = 0.189 * 10 = 1.89V

Az R1 után háromfelé oszlik az áram. A fentebb kiszámított ellenállású bal-,
közép és jobboldali ágakon áramosztással kapjuk meg, hogy mekkora arányban
oszlik rajtuk az áram. Ehhez most felhasználjuk a már egyszer kiszámított
ellenállásértékeket:

Rbal = 127.27Ω
Rközép = 120Ω
Rjobb = 140Ω

Ibal = I *    Rközép X Rjobb       _ = 0.189 *      120 X 140             = 0,0635A
                Rbal + Rközép X Rjobb                  127.27 + 120 X 140

Iközép = I *         Rbal X Rjobb       _ = 0.189 *      127.27 X 140            = 0,0674A
                     Rközép + Rbal X Rjobb                  120 + 127.27 X 140

Ijobb = I *    Rközép X Rbal         _ = 0.189 *      120 X 127.27           = 0,0578A
                  Rjobb + Rközép X Rbal                   140 + 120 X 127.27

Most akkor nézzük meg megint az eredeti rajzot:

A bal oldalon sorba van kötve R2, R8 és egy párhuzamos kötés, ami R5-ből és
R6-ból áll. Számoljuk ki ezen ellenállásokon eső feszültségeket.

U2 = Ibal * R2 = 0,0635 * 20 = 1.27V
U8 = Ibal * R8 = 0,0635 * 80 = 5.08V

R5-nél és R6-nál - lévél hogy párhuzamosak - az áram el fog oszlani, ezért ott áramosztást kell alkalmaznunk:

I5 = Ibal *    R6       = 0,0635 *     60     = 0,0346A
                  R5 + R6                   
50 + 60

I6 = Ibal *     R5       = 0,0635 *     50     = 0,0288A
                  R5 + R6                    50 + 60

Így:
U5 = I5 * R5 = 0,0346 * 50 = 1,73V
U6 = I6 * R6 = 0,0288 * 60 = 1,728V

Most jöhet a középső rész. Itt csak sima soros ellenállások vannak, nem lesz nehéz dolgunk:

U3 = Iközép * R3 = 0,0674 * 30 2,022V
U9 = Iközép * R9 = 0,0674 * 90 = 6,066V

Végül számoljuk ki a jobboldali hurkot is. R7-ten nem folyik áram!

U4 = Ijobb * R4 = 0,0578 * 40 = 2,312V
U7 = 0V!
U10 = Ijobb * R10 = 0,0578 * 100 = 5,78V